Вычисления весовых коэффициентов фильтра баттерворта. Фильтры баттерворта. Декады и октавы

План:

Введение

• 1 Обзор
  • 1.1 Нормированные полиномы Баттерворта
  • 1.2 Максимальная гладкость
  • 1.3 Спад характеристики на высоких частотах
• 2 Проектирование фильтра
  • 2.1 Топология Кауэра
  • 2.2 Топология Саллена-Кея
• 3 Сравнение с другими линейными фильтрами
• 4 Пример
Литература

Введение

Фильтр Баттерво́рта - один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers ), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.

1. Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка - на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта - монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта - единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

АЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характерстики - 20n дБ/декаду, где n - порядок фильтра.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, а, включив несколько таких фильтров последовательно, - полосовой фильтр или режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта -го порядка может быть получена из передаточной функции :

Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены представим выражение в виде :

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. -й полюс определяется из следующего выражения:

Передаточную функцию можно записать в виде:

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s -плоскости, а для z -плоскости.

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

1.1. Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

1.2. Максимальная гладкость

Приняв и , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

Она монотонно убывает для всех так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристи в ряд, получим:

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характерситики по частоте до 2n -й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

1.3. Спад характеристики на высоких частотах

Приняв , найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон −20n дБ/декаду.

2. Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

2.1. Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (ёмкости и индуктивности) . Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. k-й элемент фильтра задаётся соотношением:

2.2. Топология Саллена-Кея

Топология Саллена-Кея использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители и ёмкости). Каждый каскад схемы Саллена-Кея представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Кея имеет вид:

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв , получим:

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

3. Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок ниже показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами одинакового (пятого) порядка:

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

4. Пример

Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот (топология Кауэра) с частотой среза со следующими номиналами элементов: фарад, ом, и генри.

Логарифмический график плотности передаточной функции H(s) на плоскости комплексного аргумента для фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза . Три полюса лежат на круге единичного радиуса в левой полуплоскости.

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с фарад, ом, и генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей C как 1/Cs и полное сопротивление индуктивностей L как Ls , где - комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

АЧХ задаётся уравнением:

а ФЧХ задаётся уравнением:

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости - индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

И групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза

Литература

• В.А. Лукас Теория автоматического управления. - M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. - М .: Энергия, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. - Second Edition. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. - 4rd Edition. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters - Structures, Algorithms, and Applications. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

Институт цветных металлов и золота СФУ

Кафедра автоматизации производственных процессов

Типы фильтров  ФНЧ Баттерворта  ФНЧ Чебышева I типа  Минимальный порядок фильтра  ФНЧ с МОС 

 ФНЧ на ИНУН  Биквадратные ФНЧ  Настройка фильтров 2 порядка  ФНЧ нечетного порядка 

 ФНЧ Чебышева II типа  Эллиптические ФНЧ  Эллиптические ФНЧ на ИНУН  Эллиптические ФНЧ на 3 конденсаторах  Биквадратные эллиптические ФНЧ  Настройка ФНЧ Чебышева II типа и эллиптических 

 Настройка фильтров 2 порядка  Всепропускающие фильтры  Моделирование ФНЧ  Создание схем 

 Расчет переходных х-к  Расчет частотных х-к  Выполнение работы  Контрольные вопросы 

Лабораторная работа № 1

”Изучение фильтрация сигналов в среде Micro-Cap 6/7”

Цель работы

1. Изучить основные типы и характеристики фильтров

2. Исследовать моделирование фильтров в среде Micro-Cap 6.

3. Исследовать характеристики активных фильтров в среде Micro-Cap 6

Теоретические сведения

1. Типы и характеристики фильтров

Фильтрация сигналов играет важную роль в цифровых системах управления. В них фильтры используются для устранения случайных ошибок измерения (наложения сигналов помех, шумов) (рис. 1.1). Различают аппаратную (схемную) и цифровую (программную) фильтрацию. В первом случае используют электронные фильтры из пассивных и активных элементов, во втором случае применяют различные программные методы выделения и устранения помех. Аппаратная фильтрация применяется в модулях УСО (устройств связи с объектом) контроллеров и распределенных систем сбора данных и управления.

Цифровая фильтрация используется в УВМ верхнего уровня АСУ ТП. В данной работе подробно рассматриваются вопросы аппаратной фильтрации.

фильтры нижних частот - ФНЧ (пропускают низкие частоты и задерживают высокие частоты);

фильтры верхних частот (пропускают высокие частоты и задерживают низкие частоты);

полосно-пропускающие фильтры (пропускают полосу частот и задерживают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы);

полосно-заграждающие фильтры (которые задерживают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы).

Передаточная функция (ПФ) фильтра имеет вид:

где ½Н (j w)½- модуль ПФ или АЧХ; j (w) - ФЧХ; w - угловая частота (рад/с), связанная с частотой f (Гц) соотношением w = 2p f .

П Ф реализуемого фильтра имеет вид

где а и b - постоянные величины, а т , n = 1, 2, 3 ... (m £ n ).

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Чем он выше, тем лучше АЧХ, но сложнее схема, а стоимость выше.

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят, - это полосы пропускания и в них значение АЧХ ½Н (j w)½ велико, а в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, - это полосы задерживания и в них значение АЧХ мало, а в идеальном случае равно нулю.

В реальных фильтрах полоса пропускания - это диапазон частот (0 -  c), где значение АЧХ больше заданной величины А 1 . Полоса задерживания - это диапазон частот ( 1 -∞), в котором АЧХ меньше значения - A 2 . Интервал частот перехода от полосы пропускания к полосе задержания, ( c - 1) называют переходной областью.

Зачастую для характеристики фильтров вместо амплитуды используют затухание. Затухание в децибелах (дБ) определяют по формуле

Значению амплитуды А = 1 соответствует затухание a = 0. Если A 1 = A/
= 1/= 0,707, то затухание на частоте w c:

На низких частотах (ниже 0,5 МГц), параметры катушек индуктивности неудовлетворительны: большие размеры и отклонения характеристик от идеальных. Катушки индуктивности плохо приспособлены для интегрального исполнения. Простейший фильтр низких частот (ФНЧ) и его АЧХ показаны на рис. 1.8.

Активные фильтры создаются на основе R , C элементов и активных элементов - операционных усилителей (ОУ). ОУ должны иметь: высокий коэффициент усиления (в 50 раз больше, чем у фильтра); высокую скорость нарастания выходного напряжения (до 100-1000 В/мкс).

Фильтр четного порядка с п > 2 содержит n /2 звеньев второго порядка, соединенных каскадно. Фильтр нечетного порядка с п > 2 содержит (п – 1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого порядка.

Для фильтров первого порядка ПФ

где В и С - постоянные числа; P (s ) - полином второй или меньшей степени.

У ФНЧ максимальное затухание в полосе пропускания a 1 не превышает 3 дБ, а затухания в полосе задерживания a 2 находится в пределах от 20 до 100 дБ. Коэффициент усиления ФНЧ это значение его передаточной функции при s = 0 или значение его АЧХ при w = 0 , т.е. равен А.

Баттерворта - обладают монотонной АЧХ (рис. 1.12);

Чебышева (типа I) - АЧХ содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания (рис. 1.13);

инверсные Чебышева (типа II) - АЧХ монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания (рис. 1.14);

эллиптические - АЧХ имеет пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 1.15).

Фильтр Баттерворта НЧ n -го порядка имеет АЧХ следующего вида

ПФ фильтра Баттерворта как полиномиального фильтра равна

Для п = 3, 5, 7 ПФ нормированного фильтра Баттерворта равна

где параметры e и К - постоянные числа, а С п - полином Чебышева первого рода степени п , равный

Размах R р можно уменьшить, выбрав значение параметра e достаточно малым.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания - постоянный размах пульсаций - выражается в децибелах как

ПФ фильтров НЧ Чебышева и Баттерворта идентичны по форме и описываются выражениями (1.15) - (1.16). АЧХ фильтра Чебышева лучше АЧХ фильтра Баттерворта такого же порядка, т. к. у первого уже ширина переходной области. Однако у фильтра Чебышева ФЧХ хуже (более нелинейна) чем ФЧХ у фильтра Баттерворта.

АЧХ фильтра Чебышева данного порядка лучше АЧХ Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако ФЧХ фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с ФЧХ фильтра Баттерворта.

ФЧХ фильтра Чебышева для 2-7-го порядков приведены на рис. 1.18. Для сравнения на рис. 1.18 штриховой линией изображена ФЧХ фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что ФЧХ фильтров Чебышева высокого порядка хуже ФЧХ фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что АЧХ фильтра Чебышева высокого порядка лучше АЧХ фильтра более низкого порядка.

1.1. ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА ФИЛЬТРА

На основе рис. 1.8 и 1.9 можно сделать вывод, что чем выше порядок фильтров Баттерворта и Чебышева, тем лучше их АЧХ. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, важен выбор минимально необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.

Пусть в изображенной на рис. 1.2 общей характеристике заданы максимально допустимое затухание в полосе пропускания a 1 (дБ), минимально допустимое затухание в полосе задерживания a 2 (дБ), частота среза w с (рад/с) или f c (Гц) и максимальная допустимая ширина переходной области T W , которая определяется следующим образом:

где логарифмы могут быть или натуральными, или десятичными.

Уравнение (1.24) можно записать в виде

и полученное соотношение подставить в (1.25) для нахождения зависимости порядка п от ширины переходной области, а не от частоты w 1 . Параметр T W / w с называется нормированной шириной переходной области и является безразмерной величиной. Следовательно, T W и w с можно задавать и в радианах на секунду, и в герцах.

Подобным же образом на основе (1.18) для К = 1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева

а из (1.25) следует, что удовлетворяющий этим требованиям фильтр Баттерворта должен иметь следующий минимальный порядок:

Снова находя ближайшее большее целое число, получаем п = 4.

Этот пример наглядно иллюстрирует преимущество фильтра Чебышева над фильтром Баттерворта, если основным параметром является АЧХ. В рассмотренном случае фильтр Чебышева обеспечивает ту же самую крутизну передаточной функции, что и фильтр Баттерворта удвоенной сложности.

1.2. ФНЧ С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

И БЕСКОНЕЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Для фильтров более высокого порядка уравнение (1.29) описывает ПФ типового звена второго порядка, где К – коэффициент его усиления; В и С – коэффициенты звена, приведенные в справочной литературе . Одна из наиболее простых схем активных фильтров, реализующих ПФ нижних частот согласно (1.29), приведена на рис. 1.11.

Сопротивления, удовлетворяющие уравнению (1.30), равны

Целесообразный подход состоит в том, чтобы задать номинальное значение емкости C 2 , близкое к значению 10/f c мкФ и выбрать наибольшее имеющееся номинальное значение емкости C 1 , удовлетворяющее уравнению (1.31). Сопротивления должны быть близки к значениям, вычисленным по (1.31). Чем выше порядок фильтра, тем более критичными являются эти требования. Если в наличии отсутствуют вычисленные номинальные значения сопротивлений, то следует отметить, что все значения сопротивлений можно домножить на общий коэффициент при условии, что значения емкостей делятся на тот же самый коэффициент.

В качестве примера предположим, что необходимо разработать фильтр Чебышева с МОС второго порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ, полосой пропускания 1000 Гц и коэффициентом усиления равным 2. В этом случае К = 2, w с = 2π (1000), а из приложения А находим, что В = 1,425625 и С=1,516203. Выбирая номинальное значение C 2 = 10/f c = 10/1000=0,01 мкФ = 10 -8 Ф, из (1.32) получаем

Теперь предположим, что необходимо разработать фильтр Баттерворта шестого порядка с МОС, частотой среза f c = 1000 Гц и коэффициентом усиления K = 8. Он будет состоять из трех звеньев второго порядка, каждое с ПФ, определяемой уравнением (2.1). Выберем коэффициент усиления каждого звена K = 2, что обеспечивает требуемый коэффициент усиления самого фильтра 2∙2∙2=8. Из приложения А для первого звена находим В = 0,517638 и С = 1. Снова выберем номинальное значение емкости С 2 = 0,01 мкФ и в этом случае из (2.21) найдем С 1 = 0,00022 мкФ. Зададим номинальное значение емкости С 1 = 200 пФ и из (2.20) найдем значения сопротивлений R 2 =139,4 кОм; R 1 =69,7 кОм; R 3 = 90,9 кОм. Два других звена рассчитываются аналогичным способом, а затем звенья соединяются каскадно для реализации фильтра Баттерворта шестого порядка.

Из-за своей относительной простоты фильтр с МОС является одним из наиболее популярных типов фильтров с инвертирующим коэффициентом усиления. Он обладает также определенными преимуществами, а именно хорошей стабильностью характеристик и низким выходным полным сопротивлением; таким образом, его можно сразу соединять каскадно с другими звеньями для реализации фильтра более высокого порядка. Недостаток схемы состоит в том, что невозможно достичь высокого значения добротности Q без значительного разброса значений элементов и высокой чувствительности к их изменению. Для достижения хороших результатов коэффициент усиления К

Скорректированная ФНЧ -фильтром . ... МОС -структурой, является возможность регулировки усиления и полосы фильтра при изменении номиналов минимального ... фильтра на микросхемах типа ... имеет тот же порядок величины, что и... классические фильтры Чебышева и Баттерворта , ...

1 Определим порядок фильтра. Порядок фильтра это число реактивных элементов в ФНЧ и ФВЧ.

где
- функция Баттерворта, соответствующая допустимой частоте.

- допустимое затухание.

2 Чертим схему фильтра полученного порядка. При практической реализации предпочтительны схемы с меньшим количеством индуктивностей.

3 Рассчитываем постоянные преобразования фильтра.

, мГн

, нФ

4 Для идеального фильтра с сопротивлением генератора 1 Ом, сопротивление нагрузки 1 Ом,
составлена таблица нормированных коэффициентов фильтра Баттерворта. В каждой строке таблицы коэффициенты симметричны, к середине увеличиваются, а затем уменьшаются.

5 Чтобы найти элементы схемы, необходимо постоянные преобразования умножить на коэффициент из таблицы.

Рассчитать параметры фильтра низких частот Баттерворта, если ПП=0,15 кГц, =25 кГц,=30 дБ,
=75 Ом. Найти
для трех точек.

29.3 Фвч Баттерворта.

Фильтры ФВЧ – это четырехполюсники, у кторых в диапазоне (
) затухание мало, а в диапазоне (
) – велико, то есть фильтр должен пропускать в нагрузку токи верхних частот.

Так как ФВЧ должен пропускать токи высоких частот, то на пути тока, идущего в нагрузку, должен стоять частотно зависимый элемент, который хорошо пропускает токи высоких частот и плохо токи низких частот. Таким элементом является конденсатор.

Ф
ВЧ Т-образный

ФВЧ П-образный

Конденсатор ставят последовательно с нагрузкой, так как
и с ростом частоты
уменьшается, следовательно токи высоких частот легко проходят в нагрузку через конденсатор. Катушку индуктивности ставят параллельно нагрузке, так как
и с увеличением частоты увеличивается
, поэтому токи низких частот замыкаются через индуктивности и не попадут в нагрузку.

Расчет ФВЧ Баттерворта аналогичен расчету ФНЧ Баттерворта, проводится по тем же формулам, только

.

Рассчитать фильтр верхних частот ФВЧ Баттерворта, если
Ом,
кГц,
дБ,
кГц. Найти:
.

Тема занятия 30: Полосовые и режекторные фильтры Баттерворта.

В фильтрах рассчет обычно начинают с задания параметров фильтра, самым главным из них является АЧХ. Как мы уже обсуждали в статье , сначала осуществляется приведение требований заданного фильтра к требованиям ФНЧ-прототипа. Пример требований к амплитудно-частотной характеристике ФНЧ-прототипа проектируемого фильтра приведен на рисунке 1.

На данном графике приведена зависимость коэффициента передачи фильтра к нормированной частоте ξ , где ξ = f/f в

На приведенном на рисунке 1 графике видно, что в полосе пропускания задается допустимая неравномерность коэффициента передачи. В полосе непропускания задается минимальный коэффициент подавления мешающего сигнала. Реальная фильтра может иметь любую форму. Главное, чтобы она не пересекала границы заданных требований.

Достаточно длительное время расчет фильтра вели методом подбора амплитудно-частотной характеристики с помощью стандартных звеньев (m-звено или k-звено). Подобный метод назывался методом аппликации. Он был достаточно сложен и не давал оптимального соотношения качества разработанного фильтра и количества звеньев. Поэтому были разработаны математические методы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики с заданными характеристиками.

Аппроксимацией в математике называют представление сложной зависимости некоторой известной функцией. Обычно эта функция достаточно проста. В случае разработки фильтра важно, чтобы аппроксимирующая функция легко могла быть реализована схемотехнически. Для этого функции реализуются при помощи нулей и полюсов коэффициента передачи четырехполюсника, в данном случае фильтра. Они легко реализуются при помощи LC-контуров или с обратными связями.

Наиболее распространенным видом аппроксимации АЧХ фильтра является аппроксимация по Баттерворту. Подобные фильтры получили название фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта

Отличительной особенностью амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта является отсутствие минимумов и максимумов в полосе пропускания и задерживания. Спад АЧХ на границе полосы пропускания этих фильтров равен 3 дБ. Если от фильтра требуется меньшее значение неравномерности в полосе пропускания, то верняя частота фильтра f в выбирается выше заданной верхней частоты полосы пропускания. Функция аппроксимации АЧХ для ФНЧ-прототипа фильтра Баттерворта выглядит следующим образом:

где ξ — нормированная частота;
n — порядок фильтра.

При этом реальную амплитудно-частотную характеристику разрабатываемого фильтра можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза фильтра. Для фильтра Баттерворта нижних частот функция аппроксимации АЧХ будет выглядеть следующим образом:

Сейчас обратим внимание, что при расчете фильтров широко используется понятие комплексной s-плоскости, на которой по оси ординат отложена круговая частота jω , а по оси абсцисс — величина, обратная добротности. Таким образом можно определить основные параметры LC-контуров, которые входят в состав схемы фильтра: частоту настройки (резонансную частоту) и добротность. Переход в s-плоскость осуществляется при помощи .

Подробный вывод положения полюсов фильтра Баттерворта на комплексной s-плоскости приведен в . Для нас главное, что полюса этого фильтра расположены на единичной окружности на равном расстоянии друг от друга. Количество полюсов определяется порядком фильтра.

На рисунке 2 приведено расположение полюсов для фильтра Баттерворта первого порядка. Рядом показана АЧХ, соответствующая данному расположению полюсов на комплексной s-плоскости.

На рисунке 2 видно, что для фильтра первого порядка полюс должен быть настроен на нулевую частоту и его добротность должна быть равна единице. На графике АЧХ видно, что частота настройки полюса действительно равна нулю, а добротность полюса такова, что на частоте среза нормированного фильтра Баттерворта, равной единице, его коэффициент передачи равен −3дБ.

Точно таким же образом определяются полюса для фильтра Баттерворта второго порядка. На этот раз частота настройки полюса выбирается на пересечении единичной окружности с прямой, проходящей через центр окружности под углом 45° Пример расположения полюсов на комплексной s-плоскости и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка приведен на рисунке 3.

В данном случае резонансная частота полюса расположена недалеко от частоты среза нормированного фильтра. Она равна 0,707. Добротность полюса по графику расположения полюсов в корень из двух раз выше добротности полюса фильтра Баттерворта первого порядка, поэтому крутизна спада амплитудно-частотной характеристики получается больше. (Обратите внимание на цифры в правой части графика. При отстройке по частоте, равной 2, подавление равно уже 13 дБ) Левая часть амплитудно-частотной характеристики полюса получается плоской. Это связано с влиянием полюса, расположенного в зоне отрицательных частот.

Расположение полюсов и амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка показано на рисунке 4.

Как видно из графиков, показанных на рисунках 2...5, при увеличении порядка фильтра Баттерворта увеличивается крутизна спада амплитудно-частотной характеристики и возрастает требующаяся добротность цепи второго порядка (контура), реализующего полюс характеристики передачи фильтра. Именно возрастанием требующейся добротности и ограничивается максимальный порядок фильтра, который удается реализовать. В настоящее время удается реализовать фильтры Баттерворта вплоть до восьмого — десятого порядка.

Фильтры Чебышева

В фильтрах Чебышева аппроксимация амплитудно-частотной характеристики производится следующим образом:

При этом амплитудно-частотную характеристику реального фильтра Чебышева точно также как и в фильтре Баттерворта можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза разрабатываемого фильтра. Для фильтра Чебышева нижних частот амплитудно-частотную характеристику можно определить следующим образом:

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева низких частот характеризуется более крутым спадом в области частот выше верхней частоты пропускания. Этот выигрыш достигается за счет появления неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Неравномерность функции аппроксимации АЧХ фильтра Чебышева вызывается большей добротностью полюсов.

Подробный вывод положения полюсов аппроксимирующей функции фильтра Чебышева на s-плоскости приведен в . Для нас важно то, что полюса фильтра Чебышева расположены на эллипсе, большая ось которого совпадает с осью нормированных частот. На этой оси эллипс проходит через точку частоты среза фильтра нижних частот.

В нормированном варианте эта точка равна единице. Вторая ось определяется неравномерностью функции аппроксимации АЧХ в полосе пропускания. Чем больше допустимая неравномерность в полосе пропускания, тем меньше эта ось. Происходит как бы "сплющивание" единичной окружности фильтра Баттерворта. Полюса как бы приближаются к оси частот. Это соответствует возрастанию добротности полюсов фильтра. Чем больше неравномерность в полосе пропускания, тем больше добротность полюсов, тем больше скорость возрастания затухания в полосе непропускания фильтра Чебышева. Количество полюсов функции аппроксимации АЧХ определяется порядком фильтра Чебышева.

Следует заметить, что фильтра Чебышева первого порядка не существует. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Чебышева второго порядка приведено на рисунке 5. Характеристика фильтра Чебышева интересна тем, что на ней отчетливо видны частоты полюсов. Они соответствуют максимумам АЧХ в полосе пропускания. У фильтра второго порядка частота полюса соответствует ξ =0.707.

Страница 1 из 2

Определим порядок фильтра исходя из требуемых условий по графику для затухания в полосе задерживания в книге Г.Лэм «Аналоговые и цифровые фильтры» гл.8.1 стр.215.

Понятно, что для необходимого затухания достаточно фильтра 4 порядка. График приведён для случая, когда w с =1 рад/с, а соответственно частота, на которой нужно необходимое затухание – 2 рад/с (соответственно 4 и 8 кГц). Общий график для передаточной функции фильтра Баттерворта:

Определяем схемную реализацию фильтра:

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка со сложной отрицательной обратной связью:

Чтобы желаемая схема имела желаемую амплитудно-частотную характеристику, входящие в неё элементы могут быть подобраны с не очень высокой точностью, что является плюсом данной схемы.

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка с положительной обратной связью:

В данной схеме коэффициент усиления операционного усилителя должен иметь строго определённое значение, а коэффициент передачи данной схемы будет не больше 3. Поэтому данную схему можно отбросить.

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка с омической отрицательной обратной связью

Данный фильтр построен на четырех операционниках, что увеличивает помехи и сложность расчёта данной схемы, поэтому её мы также отбрасываем.

Из рассмотренных схем мы выбираем фильтр со сложной отрицательной обратной связью.

Расчёт фильтра

Определение передаточной функции

Записываем табличные значения коэффициентов для фильтра Баттерворта четвёртого порядка:

a 1 =1.8478 b 1 =1

a 2 =0.7654 b 2 =1

(см. У.Титце, К.Шенк «Полупроводниковая схемотехника» табл.13.6 стр. 195)

Общее выражение передаточной функции для ФНЧ четвёртого порядка:

(см. У.Титце, К.Шенк «Полупроводниковая схемотехника» табл.13.2 стр. 190 и форм. 13.4 стр. 186).

Передаточная функция первого звена имеет вид:

Передаточная функция второго звена имеет вид:

где w с – круговая частота среза фильтра, w с =2pf c .

Расчёт номиналов деталей

Приравняв коэффициенты выражений (2) и (3) коэффициентам выражения (1) получим:

Коэффициенты передачи постоянного сигнала для каскадов, их произведение А 0 должно быть равно 10 по заданию. Они отрицательные, так как данные каскады являются инвертирующими, однако их произведение даёт положительный коэффициент передачи.

Для расчёта схемы лучше задаться емкостями конденсаторов, при этом для того, чтобы значение R 2 было действительным, должно выполняться условие

и соответственно

Исходя из этих условий выбирается С 1 =С 3 =1 нФ, С 2 =10 нФ, С 4 =33 нФ.

Рассчитываем значения сопротивлений для первого каскада:

Значения сопротивлений второго каскада:

Выбор ОУ

При выборе ОУ необходимо учитывать диапазон частот фильтра: частота единичного усиления ОУ (на которой коэффициент усиления равен единице) должна быть больше произведения частоты среза и коэффициента усиления фильтра K у.

Поскольку максимальный коэффициент усиления равен 3.33, а частота среза 4 кГц, то этому условию удовлетворяют почти все существующие ОУ.

Другим важным параметром ОУ является его входное сопротивление. Оно должно быть больше десятикратного максимального сопротивления резистора схемы.

Максимальное сопротивление в схеме равно 99.6 кОм, следовательно входное сопротивление ОУ должно быть не менее 996 кОм.

Так же необходимо учитывать нагрузочную способность ОУ. Для современных ОУ минимальное сопротивление нагрузки составляет 2 кОм. Учитывая, что сопротивление R1 и R4 равны соответственно 33.2 и 3.09 кОм, выходной ток операционного усилителя будет заведомо меньше максимально допустимого.

В соответствии с вышеприведёнными требованиями выбираем ОУ К140УД601 со следующими паспортными данными (характеристиками):

K у. min = 50 000

R вх = 1 МОм